Numero di Nepero: la costante universale

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Numero di Nepero: la costante universale – In matematica il numero “e” è una costante il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è 2,718281828459. È la base della funzione esponenziale e^x e del logaritmo naturale.

È un numero trascendente, e dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche.

Questo numero è una di quelle costanti più largamente utilizzate, quasi alla pari di pi greco. È presente in numerosissime formule che spaziano dalla matematica all’economia, dalla fisica alla statistica e riveste ruoli di vitale importanza in numerosissimi dei loro ambiti e sotto – campi.

Numero di Nepero: significato

Per avere un’idea meno approsimativa di cosa rappresenti questo valore, possiamo immaginare di avere in banca 1$; la stessa banca ci propone un tasso d’interesse del 100% ogni anno. Alla fine dell’anno avremo quindi 1$+100%·1$ = 2$.

Ipotizziamo però la seguente proposta: un tasso del 50% per 2 volte l’anno. Conviene? La risposta è assolutamente sì !

Passati i primi 6 mesi avremo 1$+50%·1$ = 1$+0.5$=1.5$ mentre dopo il secondo mese avremo 1.5$+50%·1.5$ = 1.5$+0.75$ = 2.25$.

Avremo quindi 0.25 $ in più rispetto a quanto potremmo ottenere (in termini di interesse) dalla prima proposta.

Se invece avessimo un tasso di 1/12 (8.333333%)  ma 12 volte l’anno (una volta al mese) si può calcolare che arriveremmo alla fine dell’anno con 2.613$.

La relazione che lega i soldi alla fine dell’anno (y) con n è

y = ( 1 +1/n ) ^n

dove n è il numero di volte all’anno in cui viene applicato il tasso.

Possiamo quindi notare che all’aumentare di n, aumenterà anche il numero di soldi secondo una relazione di dipendenza lineare.

Numero di Nepero: la costante universale
Possiamo notare da questo grafico che il valore dei soldi a fine anno tende al numero di Nepero.

Deduciamo quindi che all’aumentare di n il valore dei soldi tende ad un valore compreso tra 2.6 e 2.8, rappresentato dalla linea rossa orizzontale. Il numero di Nepero (o più brevemente “e”) vale infatti 2.718282 e può essere matemticamente rappresentato in diversi modi, ma i 2 più annoverati sono:

Numero di Nepero: la costante universale

Dove “e” viene definito come il valore del limite, oppure attraverso la serie

 Numero di Nepero: la costante universale

Nella quale “e” è definito come la serie, ed n! è il fattoriale del numero naturale n

In ambito economico il numero di Nepero rientra nel campo dell’interesse composto continuo.

Numero di Nepero: storia e curiosità

Numero di Eulero o Numero di Nepero ?

In ambito internazionale il numero “e” viene denominato “numero di Eulero“, in Italia prende invece il nome di “numero di Nepero“.

Storia del numero di Nepero

La storia di “e” è legata a quella dei logaritmi, il logaritmo di un numero in una data base è l’esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.

La prima espressione di “e” come costante venne trovata dal matematico svizzero Jacob Bernoulli, il quale, intento a calcolare il limite riportato in precedenzaa, stabilì che il risultato era compreso proprio tra 2 e 3. La prima traccia del risultato e=2,71828…  si trova in due lettere del celeberrimo matematico Leibniz. La lettera “e” che oggi usiamo compare nel 1727 nel volume Mechanica del matematico svizzero Eulero.

Significato della lettera e

Ad oggi è ignota la motivazione dietro la scelta della lettera “e”: alcuni ritengono che possa stare per “esponenziale” altri affermano che essa sia un autoriferimento all’autore, ma altri ancora accreditano l’idea che molto banalmente le altre lettere fossero già occupate.

È inoltre proprio di Eulero un’ applicazione ( seppur primitiva ) della nuova costante in ambito economico, molto simile all’esempio prima riportato.

Proprietà della costante e

Come riportato all’inizio dell’articolo, il numero di Nepero è un numero trascendente irrazionale come pi greco, ovvero dotato di infinite cifre decimali e non avente alcuna sequenza periodica.

Per quanto riguarda le proprietà, questa costante riveste un’importanze fondamentale nei logaritmi e negli esponenziali, in quanto permette di costruire la funzione esponenziale:

y = e^x

Detto brevemente, la funzione esponenziale è l’elevamento a potenza con base il numero di Eulero “e”.

La scelta di questo particolare valore è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale ( tasso di cambiamento di una funzione rispetto a una variabile ) è la funzione esponenziale stessa.

Numero di Nepero: la costante universale

Formule di e

Oltre ad esistere numerose funzioni in relazione con il numero di Nepero, questa costante è riscontrabile in altre numerosissime formule:

Alla base di tutte, sta la “primordiale” formula di Eulero:

Numero di Nepero: la costante universale

dove i indica l’unità immaginaria.

Il caso particolare in cui x=\pi  è noto come identità di Eulero.

Numero di Nepero: la costante universale

L’identità di Eulero è considerata tra le formule più eleganti della matematica, in quanto essa racchiude il numero 0, l’identità reale 1, l’identità immaginaria “i” e le 2 costanti più importanti: “e” e pi greco.

Fonte: Giovanni Brazzelli

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